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@ -1,5 +1,5 @@
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{
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"name": ".marp",
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"name": "ciel-b1",
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"lockfileVersion": 3,
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"requires": true,
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"packages": {
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BIN
src/cours/CIEL1/02-reseau/divisions_successives.jpg
Normal file
BIN
src/cours/CIEL1/02-reseau/divisions_successives.jpg
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 25 KiB |
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@ -1,4 +1,4 @@
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# Codage des entiers naturels
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# Représentation des entiers naturels
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## Base 10 et généralisation
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@ -118,8 +118,8 @@ La première méthode nécessite de connaître les puissances de 2 par coeur. El
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Procédez de cette manière :
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1. Vous pouvez créer un tableau avec les puissances de 2
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1. En parcourant votre tableau de gauche à droite (du plus grand au plus petit)
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- placez un 0 si le nombre de la colonne est supérieur ou égal à votre nombre
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- placez un 1 dans la première colonne dont la valeur est inférieure à votre nombre
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- placez un 0 si le nombre de la colonne est strictement supérieur à votre nombre
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- placez un 1 dans la première colonne dont la valeur est inférieure ou égale à votre nombre
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1. Soustrayez la puissance de 2 à votre nombre et recommencez avec le résultat
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1. Procédez comme ça jusqu'à ce que votre tableau soit rempli
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1. Votre nombre binaire sera écrit dans les cases de votre tableau
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@ -153,7 +153,7 @@ Pour cela il faut effectuer une série de divisions euclidiennes par 2 (c'est à
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La méthode:
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1. Prenez votre nombre, divisez le par 2. Vous obtiendrez un reste de 0 ou 1. Notez le.
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2. Divisiez ensuite de nouveau le quotient de votre première division par deux. Notez le reste.
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2. Divisez ensuite de nouveau le quotient de votre première division par deux. Notez le reste.
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3. Procédez de cette manière jusqu'à avoir un quotient de 0
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4. Pour trouver votre nombre binaire, prenez le reste de chacune de vos divisions dans l'ordre **inverse** de vos calculs. Le dernier reste trouvé sera votre bit de poids fort (MSB) et le premier reste calculé votre bit de poids faible (LSB)
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@ -5,7 +5,311 @@ paginate: true
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size: 4:3
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transition: coverflow
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footer: ''
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math: katex
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# Représentation des entiers naturels
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# Titre
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- Nombres peuvent avoir des représentations différentes.
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- En informatique :
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- Décimal (base 10)
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- Binaire (base 2)
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- Hexadécimal (Base 16)
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- Octal (base 8)
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## Base 10 et généralisation
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* Succession de symboles qui représentent une valeur : les chiffres
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* Système positionnel : la valeur du symbole diffère selon sa position dans le nombre
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- Ex: 222
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* Position = **Rang**
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* Valeur = **Poids**
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!!! success Formule
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$$ a_n \times 10^n + ... + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0 \times 10^0 $$
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!!!
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$a_i$ sont les chiffres de rang $i$
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!!! warning Attention
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La plus petite puissance (celle des unités) est de 0 (10⁰ = 1) et non pas de 1 (10¹ = 10)
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!!!
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Si on généralise :
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!!! success Formule à retenir
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$$ a_n \times b^n + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $$
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!!!
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- Les $a_i$ diffèrent selon les bases :
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- en base 10 : chiffres de 0 à 9
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- en base 2 : chiffres de 0 à 1
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- en base 16 : 0 à F
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- lettres pour les "chiffres" au delà de 9
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Par exemple :
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* $48_{|10}$ : $4\times10^1+8\times10^0$
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* $56_{|16}$ : $5\times16^1+6\times16^0$
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* $1011_{|2}$ : $1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0$
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Exercice : Découper selon la formule
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- $345_{|10}$
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- $\mathrm{6A}_{|16}$
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- $1101_{|2}$
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## La base 2, système binaire
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* Très utilisé en informatique, réseau, électronique numérique...
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* Chaque poids = puissance de 2
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* On utilisera 0 et 1 : des **bits**
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* Paquets de 8 bits : **octets**
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* Exemple :
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$$11_{|2} = 1\times2^1+1\times2^0 = 3_{|10}$$
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Exercice : Convertir en décimal les nombres suivants
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- $101_{|2}$
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- $11010_{|2}$
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### MSB et LSB
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- Bits situés aux extrémités:
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- **MSB** (*Most Significant Bit*) ou **bits de poids fort** : à gauche
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- **LSB** (*Least Significant Bit*) ou **bits de poids faible** : à droite
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- Exemple :
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|1|0|0|1|
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|-|-|-|-|
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|MSB|||LSB|
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Exercice : Donner le LSB et le MSB
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- 10010100
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### Multiples d'octets
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- Puissances de 10
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- Puissances de 2
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<style scoped>
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table {
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||||
font-size: 28px;
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||||
}
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</style>
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| Nom | Symbole | Nombre d'octets | Relation |
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|-|-|-|-|
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| kilooctet | ko | 10³ | 1000 octets
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| mégaoctet | Mo | 10⁶ (million) | 1000 ko
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| gigaoctet | Go | 10⁹ (milliard) | 1000 Mo
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| téraoctet | To | 10¹² (billion) | 1000 Go
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| pétatoctet | Po | 10¹⁵ (billiard) | 1000 To
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---
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||||
<style scoped>
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||||
table {
|
||||
font-size: 28px;
|
||||
}
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</style>
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| Nom | Symbole | Nombre d'octets | Relation |
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|-|-|-|-|
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|kibioctet|Kio| 2¹⁰ | 1024 o |
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|mébioctet|Mio| 2²⁰ | 1024 Kio |
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|gibioctet|Gio| 2³⁰ | 1024 Mio |
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|tébioctet|Tio| 2⁴⁰ | 1024 Gio |
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Exercice :
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- La capacité d’un disque SSD est annoncée comme étant 512Go.
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- Quelle est sa capacité en Gio et en Tio ?
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<!--
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Capacité donnée : 512 Go = 512.10⁹ octets
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||||
⇒ Capacité en Gio : 512.10⁹ / 230 ≈ 476,84 Gio
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||||
⇒ Capacité en Tio : 512.10⁹ / 240 ≈ 0,46 Tio
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-->
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## La base 16, système hexadécimal
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* Également très utilisé : Adresses MAC, IPv6, couleurs...
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* Chaque symbole représente une puissances de 16
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* Nombres de 0 à 9 + lettres de A à F
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- $\mathrm{3B} = 3_{|10}\times16^1 + 11_{|10}\times16^0 = 59_{|10}$
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* Convention : `0x` -> `0x1CF`
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Exercice: Convertir en décimal
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- 0x1CF
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- 0x3B7
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<!--
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0x1CF = 463
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||||
0x3B7 = 951
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-->
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## Conversions
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### Décimal vers binaire
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- 2 méthodes :
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- Soustractions successives
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- petits nombres
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- Divisions successives
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- grands nombres
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#### Méthode des soustractions successives
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$137_{|10} = 10001001_{|2}$
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|128|64|32|16|8|4|2|1|
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|---|--|--|--|-|-|-|-|
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|1 |0 | 0| 0|1|0|0|1|
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1. Créer un tableau avec les puissances de 2
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1. De gauche à droite (du + grand au + petit)
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- 0 si colonne > votre nombre
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- 1 si colonne < ou = à votre nombre
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1. Soustrayez la colonne et recommencez
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<style scoped>
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section {
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font-size: 32px;
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}
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</style>
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||||
!!! tip Astuce
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Pour savoir quelle taille doit faire le tableau
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- Connaître puissances de 2
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- **Ou** prendre la **partie entière** de
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- $log(N)/log(2)$
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- $log_2(N)$
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- Exemple avec $2367_{|10}$
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- $log(2367)/log(2) = 11,208$
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- Donc 2¹¹ soit 2048
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!!!
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Exercice: Convertir en binaire
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- $253_{|10}$
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||||
- $111_{|10}$
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||||
<!--
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||||
253 = 1111 1101
|
||||
111 = 0110 1111
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||||
-->
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---
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||||
#### Méthode des divisions successives
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Exemple avec le nombre $53_{|10}$ qui s'écrit $110101_{|2}$ en binaire :
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||||
<style scoped>
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||||
section {
|
||||
font-size: 32px;
|
||||
}
|
||||
</style>
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||||
- La méthode :
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1. Divisez le nombre par 2. Notez le reste et le quotient.
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||||
2. Divisez le quotient par 2. Notez le reste.
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3. Recommencez jusqu'à avoir un quotient de 0
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4. Prenez le reste de chacune de vos divisions dans l'ordre **inverse** de vos calculs.
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- Le dernier reste : bit de poids fort (MSB)
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- le premier reste : bit de poids faible (LSB)
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Exercice: Convertir en binaire
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- $253_{|10}$
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||||
- $111_{|10}$
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<!--
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||||
253 = 1111 1101
|
||||
111 = 0110 1111
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-->
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---
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### Binaire vers hexadécimal
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- Regrouper les bits par 4
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- Compléter si besoin avec des 0
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- Remplacer chaque groupe par sa représentation hexadécimale
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- Comment s'en souvenir ? Dessiner le tableau
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Exemple avec $110101_{|2}$:
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$$\overbrace{00}^{\text{ajout}}110101$$
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$$\overbrace{0011}^{3_{|16}}\overbrace{0101}^{5_{|16}}$$
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Résultat : $110101_{|2} = 35_{|16}$
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---
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||||
Exercice : Convertir en hexadécimal
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- $11000101_{|2}$
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||||
- $101010_{|2}$
|
||||
|
||||
<!--
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||||
- C5
|
||||
- 2A
|
||||
-->
|
||||
---
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Exercice : Convertir en binaire
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- 0x6E
|
||||
- 0x3CF
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<!--
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- 0110 1110
|
||||
- 0011 1100 1111
|
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-->
|
||||
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